La legge dei grandi numeri dice che, ripetendo tante volte un evento casuale, la frequenza dei risultati si avvicina sempre di più alla loro probabilità: con 10 lanci di moneta puoi fare 7 teste, con 10.000 sarai quasi certamente tra il 49% e il 51%. Applicata al gioco d'azzardo, insieme al valore atteso, spiega in due righe perché il banco vince sempre: ogni puntata ha una piccola perdita media già scritta nelle regole, e su milioni di puntate quella perdita diventa una certezza. Qui trovi cosa dicono davvero la legge dei grandi numeri e il valore atteso, come si calcolano gioco per gioco e quali errori fanno credere il contrario.
La legge dei grandi numeri in parole semplici
La formulò per primo il matematico svizzero Jacob Bernoulli, in un'opera pubblicata nel 1713. In forma semplice:
Se ripeti molte volte una prova con una certa probabilità di successo, la percentuale di successi si avvicina sempre di più a quella probabilità.
Ecco cosa succede lanciando una moneta, con il 95% di probabilità:
| Lanci | Percentuale di teste attesa | Scarto tipico in numero di teste |
|---|---|---|
| 10 | tra il 19% e l'81% | circa 1,6 |
| 100 | tra il 40% e il 60% | circa 5 |
| 1.000 | tra il 47% e il 53% | circa 16 |
| 10.000 | tra il 49% e il 51% | circa 50 |
| 100.000 | tra il 49,7% e il 50,3% | circa 158 |
Calcolo nostro con la distribuzione binomiale. Guarda bene le due colonne: la percentuale si stringe attorno al 50%, ma lo scarto in numero assoluto cresce. Dopo 100.000 lanci è normale avere 150 teste in più o in meno della metà esatta. La legge dei grandi numeri non «pareggia i conti»: li diluisce.
Cosa la legge dei grandi numeri NON dice
È qui che nascono quasi tutti gli errori dei giocatori:
| Credenza | Perché è sbagliata |
|---|---|
| «Il rosso è uscito 8 volte, ora deve uscire il nero» | Ogni giro è indipendente: il nero ha sempre 18 possibilità su 37 |
| «Il 53 è ritardatario, deve recuperare» | Le estrazioni non hanno memoria; la percentuale si avvicina alla media per diluizione, non per compensazione |
| «La slot non paga da ore, è carica» | Ogni giro è deciso da un generatore casuale indipendente dai giri precedenti |
| «Se gioco abbastanza a lungo torno in pari» | Con un valore atteso negativo, più si gioca più la perdita si avvicina a quella media, che è sempre negativa |
L'idea che il caso debba compensare i risultati passati si chiama fallacia del giocatore: la spieghiamo nel dettaglio in fallacia del giocatore.
Il valore atteso: la formula
Il valore atteso (o speranza matematica) è quanto si vince o si perde in media per ogni puntata, se la si ripetesse infinite volte:
Valore atteso = (vincita × probabilità di vincere) − (puntata × probabilità di perdere)
Un esempio alla roulette europea, con 37 numeri (da 0 a 36), puntando 1 € sul rosso:
- vinci 1 € con probabilità 18/37;
- perdi 1 € con probabilità 19/37 (i 18 neri più lo zero).
Valore atteso = 1 × 18/37 − 1 × 19/37 = −1/37 = −0,027 €. Su ogni euro puntato si perdono in media 2,7 centesimi. Con un numero secco il conto è diverso nei dettagli ma identico nel risultato: si vincono 35 € con probabilità 1/37 e si perde 1 € con probabilità 36/37, cioè −1/37 di nuovo.
Il valore atteso nei giochi più diffusi
| Gioco | Ritorno medio per 1 € giocato | Valore atteso per 1 € |
|---|---|---|
| Roulette europea | 97,3 centesimi | −2,7 centesimi |
| Slot online con RTP del 96% | 96 centesimi | −4 centesimi |
| Lotto, ambo secco su una ruota | circa 62 centesimi | circa −38 centesimi |
| Gratta e Vinci da 5 € (media) | circa 71 centesimi | circa −29 centesimi |
| Gratta e Vinci da 20 € (media) | circa 81 centesimi | circa −19 centesimi |
Fonti: regole dei giochi e tabelle ufficiali dei premi; calcoli nostri, al lordo delle tasse sulle vincite. L'ambo secco del Lotto paga 250 volte la posta, ma la probabilità di indovinarlo su una ruota è di 1 su 400,5: il ritorno medio è 250/400,5, cioè circa 62 centesimi per euro. I dettagli sono in vincite e quote del Lotto, in RTP delle slot e nella classifica dei Gratta e Vinci più vincenti.
Valore atteso e legge dei grandi numeri insieme
Il valore atteso dice quanto si perde in media; la legge dei grandi numeri dice che, giocando abbastanza, il risultato reale si avvicina alla media. Ecco cosa succede a chi punta 1 € sul rosso alla roulette europea, giro dopo giro:
| Giri giocati | Perdita media attesa | Probabilità di essere in vantaggio |
|---|---|---|
| 10 | 0,27 € | circa 34% |
| 100 | 2,70 € | circa 36% |
| 1.000 | 27 € | circa 19% |
| 10.000 | 270 € | circa 0,3% |
Calcolo nostro con la distribuzione binomiale: «in vantaggio» vuol dire con più vincite che perdite. Su pochi giri vincere è normale: un giocatore su tre è avanti dopo 100 giri. Su 10.000 giri, invece, chi è in attivo è un'eccezione rarissima. Per il casinò, che somma i giri di migliaia di giocatori, la situazione è quella dell'ultima riga moltiplicata per mille: il guadagno è certo.
Perché si vince lo stesso, ogni tanto
Il valore atteso negativo non vuol dire che si perde sempre. Vuol dire che le vincite sono, in media, più piccole delle perdite. Due cose rendono le vincite possibili:
- La varianza. Nel breve periodo i risultati oscillano molto attorno alla media. Una slot ad alta volatilità può pagare 500 volte la puntata in un giro, e restare muta per centinaia di giri. È spiegato in volatilità delle slot.
- I premi rari e grandi. Il jackpot del SuperEnalotto esiste, ma la sua probabilità è tale che il suo contributo al valore atteso di una giocata è di pochi centesimi.
Le vincite sono reali, ma sono già comprese nel conto. Chi vince ha avuto un risultato sopra la media, non ha battuto la media.
I sistemi che promettono di battere il valore atteso
Nessun sistema di puntata cambia il valore atteso di un gioco: se ogni singola puntata ha un valore atteso negativo, anche la somma di tante puntate ce l'ha.
| Sistema | Cosa promette | Cosa fa davvero |
|---|---|---|
| Martingala | Raddoppiando dopo ogni perdita, prima o poi si vince | Trasforma tante piccole vincite in una rara perdita enorme |
| Numeri ritardatari | Puntare su ciò che «deve» uscire | Nessun effetto: le estrazioni sono indipendenti |
| Progressioni a salire o scendere | Gestire le serie positive e negative | Cambiano la forma dei risultati, non la media |
L'unica eccezione parziale nella storia del gioco è il conteggio delle carte a blackjack, che sfrutta il fatto che le carte uscite non tornano nel mazzo: funziona solo in condizioni particolari, che casinò e giochi online neutralizzano. Lo spieghiamo in contare le carte.
La regola pratica
Se un gioco ha un valore atteso negativo, e tutti i giochi d'azzardo legali ce l'hanno, ogni euro giocato ha un costo medio già scritto. Conviene trattarlo come una spesa per il divertimento, non come un investimento: decidere prima quanto si è disposti a spendere, e considerare persa quella cifra. Più si gioca, più la legge dei grandi numeri avvicina il risultato a quella perdita media.
I numeri non mentono
La legge dei grandi numeri è il motivo per cui i casinò esistono e prosperano. Se ti accorgi di giocare per «recuperare», o di contare sul fatto che prima o poi i conti torneranno, il test sulla ludopatia è anonimo, il Telefono Verde 800 558 822 è gratuito e trovi altri strumenti nella pagina sul gioco responsabile. Il gioco con vincite in denaro è vietato ai minori di 18 anni.